и домам снятся сны..)

хочу там встретить старость...)

)))) в каком из?

... в том, что за Вашей спиной)))

))) а может в том, в котором я?)))

нравится!!!

Спасибо...

Милая Алиса, ...и Вы в нём живёте?)))

)))) пока только в отображении...

В отображении? Как мне найти ВАС в ЭТОМ?

"Непрерывность в топологических пространствах

Отображение f\colon X \to Y топологического пространства (X,\mathcal{T}_X) в топологическое пространство (Y,\mathcal{T}_Y) называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X.

Непрерывность на подпространстве

Если рассмотреть некоторое подмножество A множества X, то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология \mathcal{T}_A, которую составляют всевозможные пересечения множества A с множествами, входящими в топологию \mathcal{T}_X.

Отображение f\colon X \to Y, непрерывное на множестве X, будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.
Непрерывность в точке

Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Отображение f\colon X \to Y называется непрерывным в точке x, если для любой окрестности V точки f(x) найдется такая окрестность U точки x, что f(U) \subset V.

Отображение, непрерывное на некотором множестве, будет непрерывным в каждой точке данного множества.[1]

В случае, если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна т.н. секвенциальной непрерывности: если \lim_{n \to \infty} x_n=x , то \lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(x)

Эквивалентные определения

Следующие ниже формулировки эквивалентны:

прообраз всякого открытого множества открыт;
прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.
Непрерывность в метрических и нормированных пространствах

В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение f\colon X \to Y метрического пространства (X,\rho_X) в метрическое пространство (Y,\rho_Y) называется непрерывным в точке a, если для всякого \varepsilon > 0 существует \delta > 0, что для всякого x\in X, такого, что \rho_X(x,a) < \delta, выполняется неравенство: \rho_Y(f(x), f(a))<\varepsilon.

Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.

Пусть, f\colon {N_1}\to {N_2} отображение между нормированными пространствами с нормами \|{*}\|_1 и \|{*}\|_2 соответственно. Функция f непрерывна в точке a, если для любого числа \varepsilon > 0 найдётся такое число \delta > 0, что для всех точек x \in N_1, таких что \|x-a\|_1< \delta выполнено неравенство \|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.
Непрерывные функции (функционалы)

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала f:X \rightarrow \mathbb{R} (или \mathbb{C}.), где X - произвольное топологическое пространство, следующее:

Фунционал f, называется непрерывным в точке a \in X, если для любого \varepsilon > 0 найдется окрестность \Sigma_a этой точки, такая, что \forall x \in \Sigma_a выполнено условие |f(x)-f(a)| < \varepsilon.

Множество непрерывных на X функционалов (функций) принято обозначать C(X). Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.
Непрерывная числовая функция
Основная статья: Непрерывная функция

Пусть, f\colon \mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}. (или \mathbb{C}.). Функция f непрерывна в точке a, если для любого числа \varepsilon > 0 найдётся такое число \delta > 0, что для всех точек x\in E условие |x-a|< \delta влечет |f(x)-f(a)| < \varepsilon.

Другими словами, функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция f класса C^0 и пишут: f\in C^0(E) или, подробнее, f\in C^0(E, \mathbb{R}).
Свойства непрерывных отображений

Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество

Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.

(Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.

Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть C(X)- пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве X. Пусть B(X) - подмножество C(X), содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае B(X)=C(X) тогда и только тогда, когда \forall x_1,x_2 \in X, существует f \in B, такая что f(x_1) \not =f(x_2)."

))) и это все мне???? Или для меня???))) Тогда пусть будет так - f\colon {N_1}\to {N_2} отображение между нормированными пространствами с нормами \|{*}\|_1 и \|{*}\|_2 соответственно. Функция f непрерывна в точке a, если для любого числа \varepsilon > 0 найдётся такое число \delta > 0, что для всех точек x \in N_1, таких что \|x-a\|_1< \delta выполнено неравенство \|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon,...... Здесь самое удачное место...))) Приходите - познакомимся..)))

Ну, раз так...спасибо за приглашение!!! И Вы не боитесь фрактальности?

" Третий важный принцип фрактальной парадигмы — это то, что космологические уровни являются строго самоподобными, так что для каждого класса объектов или явлений в данном масштабном уровне есть аналогичный класс объектов или явления в любом другом космологическим уровне. Самоподобные аналоги объектов и явлений из различных уровней имеют совпадающую морфологию, кинематику и динамику."

Вас устроит моя кинематика и динамика?)))

меня устроит система измерения положения тела в пространстве .)))

а бесконечную вложенность материи - оставим на будущее..)))

ну-ну!!!)

Дмитрий,так это Вам Нобелевскую по физике в прошлом году присудили???)))

ну и ну что у Алисы, Что у Димитрия до ржавчины далекооо...

)) спасибо , vladimir , так вся жизнь на рапирах и проходит...